法界虚空的梦幻圆舞曲（下）——打开科学宝库最后一道门的佛法钥匙
南葵内色南跨刚瓦耶，喇嘛耶丹宽珠措南当，桑吉秋当帕波根登拉，达当卓哲给贝嘉森且。一切有为法，如梦幻泡影，如露亦如电，应作如是观。心鹫终究必飞翔，今要越险当日瓦！ 四、“寒潭度鹤影”：离一多因的数学证明 1要打开科学宝库的最后一道门，我们不能仅仅用佛法自己的语言来抉择。我们还需要把佛法的语言，翻译成自然科学的语言，即使这样的翻译会让人担心有些生硬。 佛法的理性精神和科学的理性精神同根同源，都源自对大自然奥秘的理性探索，都遵循因果律和逻辑推理。这一点给予我们信心，让我们对佛法和科学之间的翻译工作持有乐观的态度。 带着“离一多因”满满的灵感，我们开始启程，寻找“离一多因”投射在自然科学中的“寒塘鹤影”。 在这项颇具开拓性的工作中，我的孩子Peter给了我许多许多灵感。一个重要的灵感，来自Peter在小学时的课外学习：计算机编程。在计算机算法中，有一个基本的算法，叫“回溯法”。 它是一种有次序的穷举方法。比较典型的题目，就是走迷宫。为了走出迷宫，我们从起点出发，每到一个岔路口，就标记上（1），然后选择一个路口往前探索，到了下一个岔路口时，再标记（2）。然后再选择其中一个继续探索。探索的原则是“深度优先搜索”法。如果走通了，就是有解。如果此路不通，就回头穷尽其他的可能性。 “回溯法”的一个重要思路是：当我们在某一个方向上始终走不通的时候，我们必须回到之前的假设上，换一个可能性，重新探索。如果还不行，则要回到更前的假设上，探索其他可能性。 “回溯法”是自然科学史上最重要的方法。从伽利略到爱因斯坦和玻尔；从希帕索斯到康托尔；科学史上每一次划时代的新发现或者新理论，都是回到基本的假设上，推翻似乎那么不容置疑的“常识”，换一个可能性进行探索，只要它在逻辑上合理和自洽。 由于每一次重大的回溯，都是进入一条完全崭新的路，所以，每一次重大的回溯，都会带来一次潮涌般的变革。从未走过的新路上，各种新景色让人眼花缭乱。 回溯法最大的障碍，是人们顽固的“常识”，即成见。为了打破成见，我们必须勇敢地提醒自己福尔摩斯那个非常经典又富有哲理性的话：“我的方法，就建立在这样一种假设上面：当你把一切不可能的结论都排除之后，那剩下的，不管多么离奇，也必然是事实。”（《新探案·皮肤变白的军人》）” 数学三大危机，已经非常明显地告诉人们：最基本的矛盾在最初的假设上。所以，必须利用回溯法解决问题，固执地按照旧的方向往前，只能迷失在越来越复杂细化的死胡同里。 2借助“回溯法”的灵感，我们向源头回溯。那么，我们应该回到哪里去呢？回到微积分！回到牛顿、莱布尼茨和贝克莱的那个时代！ 牛顿和莱布尼茨的微积分里，隐含着一个假设：Δx =0 并且Δx≠0 这个假设为数学带来的红利简直难以衡量。如果把这个假设拿走，我们今天的数学体系、工程学、物理学，都会因为抽掉了最重要的一根龙骨而彻底坍塌。这一坍塌的名单，还不止于此，会很长很长。 但是，这个假设完全违背我们的常识，而且违背的是我们最最原始的常识。显然，这是一个堪称“天字第一号”的矛盾。 但是“看似”矛盾，并不真的一定矛盾。就像数学史上，康托尔发现“一个平面上的所有点，都可以和一条直线上的所有点，建立一一对应关系”；就像相对论中，爱因斯坦发现空间和时间都不是绝对的；就像量子力学史上，海森堡发现p+q≠q+p（即“测不准”定理）。这些“看似”矛盾的背后，都隐藏着惊人的秘密。在逻辑理性和直觉经验（成见）的交锋中，理性都取得了最后的胜利。 所以，我们要敢于面对和推敲这个隐含的假设。如果我们用理性推演的结果非常可靠，那么不管它多么违反我们的常识，我们也要敢于揭开它的面纱，了解面纱背后的真正涵义！ Δx =０并且Δx≠０ 那么，这个“荒谬”的假设背后，隐藏着什么不为人知的奥秘？我们知道，微积分的应用非常广泛，而且取得了极其辉煌的战绩，这说明牛顿微积分运算中的这个最基本的看似“荒谬”的假设，一定蕴含着深刻的合理性。 自“贝克莱悖论”提出之后，人们一直在苦苦寻找线索，以期解决这件头疼的事情。在前面的分析中，我们已经解释过，柯西的极限概念和康托尔的“集合论”，其实都是在转移问题，是一种“鸵鸟政策”，并没有解决问题。 现在，是时候揭开面纱看看了。 长期以来，人们认为Δx≠0才是真实的，Δx = 0只是为了计算需要的一个假借。但是，人们的常识是不可靠的，应该让数理逻辑来说话。 这一点，康托尔集合是最好的“现身说法”。在今天的数学界，毋庸置疑，康托尔集合已经完美地解决了微积分的数学矛盾（关于这一点，我们已经提出了对其致命的诘问）。 而康托尔用的办法，就是引入无穷集。这一方法的一个衍生成果，就是发现，一个面上的所有点，都可以和一根直线上的所有点一一对应。也就是说，一个面上的点的数量，和一条直线上的点的数量，是完全一致的。这是数理逻辑的结论，是完全违背人们直觉和经验的极其“荒谬”的事。但是最后，人们信奉了数理逻辑，抛弃了自己的直觉和经验。 既然为了试图证明“微积分的数学矛盾不成立”，人们愿意抛弃自己的直觉和经验，选择相信逻辑理性。那为什么不能勇敢地直接面对微积分的数学矛盾？在这一数学矛盾前，为什么我们不能同样抛弃自己的直觉和经验，依赖理性来寻找答案呢？ 3下面，让我们从几个不同角度考察，看看微积分中隐含的这个“荒谬”的假设“Δx =0并且Δx≠0”究竟只是一个错谬的假设，还是数理逻辑推演的确定不疑的结论。 以下的所有证明的灵感，源头都要“回溯”到几年以前我的孩子Peter在小学四年级时和奥数老师的一次争论。那时，刚开始学奥数的Peter提出了一个非常“叛逆”的观点：无理数不存在。为此，他和奥数老师争得面红耳赤。 后来，在我开始认真思考这一课题并着手证明的时候，Peter依然是我所有灵感的主要来源。不仅如此，他还参与了我的这项证明工作。我们曾经合作，把我们的部分成果，整理成一篇小论文，以他的名义投稿到一次奥数征文比赛。当然，从此杳无音信。 那篇小论文的题目是：《无理数不存在的证明》。此后由于各种机缘，这篇文字还曾经被Peter的数学老师等人以不同版本发给过南京师大的几位数学博导、清华大学物理系的博导，甚至还曾经发给了扎克伯格的数学老师——美国奥数国家队的教练冯祖明先生。 除了预料之中的置之不理，Peter居然也意外地收获到一些充满爱才之心的鼓励，这让我们心存感激。 考虑到“Peter”是一个朗朗上口、亲切简洁的昵称，考虑到Peter起到的关键作用，我把下面这些证明方法，称为“Peter证明”，以寄托我对家人的思念。 4Peter的第一证明：（1）9/9=1。（2）1-9/9=1-1=0。（3）1/9=0.1111… 这是一个末尾为1的无限循环小数。2/9=0.2222… 这是一个末尾为2的无限循环小数。以此类推，9/9=1/9 * 9 =0.999… 这是一个末尾为9的无限循环小数。 （4）关键时刻来了：1- 0.999… = ？是的，答案就是微积分中那个无限逼近于0，又不能等于0的增量Δx。即“微分”。（5）回到Peter的第一证明中：1-9/9=Δx=0 又Δx是一个增量。“增量”的定义意味着“大于0”，否则就不是“增量”了。所以：Δx≠0 所以，我们得到了最后的结论，即隐含在微积分中的那个著名假设：Δx =0并且Δx≠0 这是一个严格的数学推演得到的结论。按照自然科学史的习惯称呼，它是一个“定理”。 如果对以上证明的过程仔细观察，我们还可以得到这个“定理”的另外一个衍生公式：0=1。 获得衍生公式的方法是这样的：1-0.9999... = 0.000..(1)在小数点的后面，跟着无穷多个0。但是，最后(如果有最后的话)，必须出现一个1。这个结尾处的“1”，就是极微（微分），或无穷小，即Δx。 又：1-0.999.. = 1-9/9 = 0 = 0.000..(0) 结尾为“0”。所以：0.000..(0)= 0.000..(1)所以：截取左右两边的结尾，得到0=1。 我们曾经认为，这个结尾的1，永远找不到，因为小数位是无限拓展下去的。于此同时，我们又隐隐约约意识到：结尾的这个1应该而且必须存在，否则宏观世界就会变得虚无缥缈。 我们的宏观世界，就在这个非常模糊的观念中，像时钟一样继续“非常优雅、非常逻辑”地走下去。只有极少数喜欢“刨根问底”的人，才隐隐约约猜到，所有的高楼大厦，其实都是建立在“0”的基础上，其实都是海市蜃楼。 这是一个可以载入史册的时刻。 从此，这个微积分中羞答答难以启齿的“让人头疼”的假设，这个贝克莱当做“荒谬矛盾之事”提出的悖论，在受到几百年不公正的排斥之后，现在终于获得了公正的待遇，以科学史上最重要最灿烂的一个定理的身份，迈进自然科学史的殿堂，而且坐在了中间那个最神圣的王位上。 在此历史性时刻，为了和历史上的所有排斥和“诽谤”之说加以区分，为了尊重它应有的尊贵身份，为了彰显来自佛法智慧的灵感加持，也为了将来的人们更深刻地揭示它的甚深涵义和无穷奥妙，我们需要对它进行命名，也必须这样做。 我把这个定理，称为“Peter定理”，以寄托我对万里之外，隔着半个地球的12小时时差的孩子和家人缕缕不绝的无限思念。 让我们重温一下Peter定理的数学表达式：Δx = 0并且Δx≠ 0 (其衍生公式为：0=1) 根据Peter定理的数学特性，我还给Peter定理取了一个很学术的名字：“零非零二相性”。 我想，这应该就是冯·诺依曼等量子力学家和数学家们一直试图寻找却屡屡失败的“波粒二相性”的数学等价公式。 Peter定理的背后，其实就是佛法的“离一多因”。Peter定理是“离一多因”在数学世界投射的那个“寒塘鹤影”。 5当然，质疑和批驳的声音立刻就会如惊涛骇浪，淹没这只大海中的一叶小舟。公正地说，质疑和批驳已经是非常高的尊重和敬意了。绝大多数人，只会不屑一顾地直接飘过。所以，我们最好还是能再多找一些其他的佐证。于是，我们想起了第一次数学危机中的“希帕索斯悖论”，那个无理数“根号2”。 除了1/9这样的“无限循环小数”，所有其他的有理数也都可以表示为“无限循环小数”的形式，只要在小数点后的末尾添加一个0的无限循环就行了。所以，所有的实数集只包含了两个部分：无限循环小数（有理数）和无限不循环小数（无理数）。 仅仅依靠无限循环小数，已经可以独立解答世界的本质。但为了让更多的人破除成见，让我们看看，无理数方面，是否能带来什么惊喜。 Peter五年级的时候，索师（索达吉堪布仁波切）来到我们家乡所在的城市。堪布的演讲，留下一个有趣的话题，引发了我和一位大学青年老师之间一场激烈的辩论。通过那段时间和他的邮件来往，我开始思考“离一多因”和极限问题的表达方式：我们能不能找到一种更加适合现代人群口味的表达方式？ 这时候，Peter告诉我，他对极限思想也产生过兴趣。这就是上面提到的他和奥数老师的那次关于无理数的争论。 这如同一道闪电，瞬间照亮了探索的黑夜。我把Peter对于无理数的思考，总结为“Peter的第二证明”。 我们两个人当时的数学知识，加起来不会超过一个初三的学生。从那时候起，他一路继续成长，而我则始终只是一个数学盲。我们的数学证明，形式上应该是非常幼稚的。但是历史一再昭示，最原始的才是最深奥的。而数学的源头是哲理，不是定理。所以我们也不必太自卑，我的“数学盲”，也许恰恰是我得天独厚的优势，让我不用背负太多历史成见的包袱，可以鲁莽地单刀赴会，直取龙庭。 关键一点是：时间将证明，我们的数学证明，其启发意义，无疑是极为深刻的。 6在开始“Peter的第二证明”之前，让我们先了解一下，人们是如何证明无理数存在的。据我从网上得到的浅薄的知识，基本上是用反证法： 假设（√2）不是无理数（由于网页无法显示根号，以“√2”替代推导公式中的“根号2”，下同），那么（√2）可以写成最简分数p/q。其中，p和q 都是整数，而且互质。 ∵(√2)2 = 2。∴ （p/q）2 = p2 / q2 = 2。∴2 * q2 = p2。又∵p是整数，∴p 是偶数，可以写成2m 的形式。∴ 2 * q2 = (2m) 2= 4 m2。∴ q2 = 2* m2 （q和m都是整数）。∴ q 也是偶数。p、q都是偶数，这个和最初的假设p、q互质，是矛盾的。∴ (√2)不是有理数。这也就证明了至少存在一个以上的无理数。以上是比较经典的证明无理数的方法。 现在，让我们来看看，在看似玩笑的Peter第二证明中，是如何论证“无理数不存在”的。 2可以写成2.000000000…总之，末尾是0。按照平方数的规律，平方数的末尾是0，则平方根的末尾也一定是0。 所以，(√2)的末尾，一定会出现0。而一旦出现0的末尾，即意味着不再无限循环。所以，无理数不存在。 这个证明的一个增强版或者补充说明是： （1）2可以写成2.0000000…末尾是任意个0，只要你愿意。（2）按照平方数的规律，平方数末尾有2n个0，则平方根的末尾就一定有n个0。（3）所以，(√2)的末尾，可以是任意个0，只要你愿意。换句话说，(√2)的末尾，一定是0的无限循环。记作：(√2)= 1.…0，所以，(√2)不是无理数。 这也从另外一个角度证明了：无限不循环小数，末尾一定是很多0。所以，(√2)不是无理数。 ~Over！非常漂亮而且简洁明了的证明！ 无理数家族还有一个最著名的成员，就是那个大名鼎鼎的圆周率π。它在各个古代传统文明中，都有着极其微妙和重要的地位，很多时候人们对它的兴趣几乎到了“宗教崇拜”的地步。虽然它的小数点后多少位，在生活中完全可以忽略不计，但很多智者还是孜孜以求地追寻它在小数点后的那串看不到尽头的足迹。中国古代甚至流传这样一首“纪念”这串足迹的打油诗：“山顶一寺一壶酒……” 世界各个角落的古代文明，不约而同地如此痴迷这个奇妙的pi（π），这里面究竟透露着宇宙的什么秘密？ 好吧，我们先把好奇心放一放。眼下的首要任务，是看看Peter如何证明pi（π）不是一个真实的无理数。 证明方案是Peter在一次早晨上学的路上琢磨出来的。他那阵子被我稍微一炫，亢奋得停不下脚步。 这一证明，可以作为Peter第二证明的一个补充。π可以写成：(π * 10n) / 10n。其中，n趋向于无穷大∞。也就是说，π有多少位小数位，n就相应是多少。 于是：分子 (π * 10n) 是一个整数，而分母10n 也是一个整数。两个整数的比，不是无理数。所以，π也不是无理数。 ~Over！非常漂亮，简洁明了！ 这些看似极其幼稚的证明，一定会贻笑大方。人们肯定可以找到各自最基本的定义来嘲笑它。但问题的关键是，大自然最大奥秘一定藏在极限里。而我们解开这个奥秘的前提，就是丢掉所有的前提、假设、公理等等限制，敞开心胸接纳一切极限的情况。 Peter第二证明的奥妙之处，就在于它打破了人们对一些数学基本概念的定义的局限，把极限情况作为一个特例，放进了考虑之中。这和经典力学是广义相对论的一个特例，而广义相对论的奥秘只有在经典力学的极限条件下才会彰显，是同一个道理。 人们有太多的成见，为自然科学的探索之路设置了很多栅栏。人们对此已经熟视无睹，觉得理所当然。 Peter第二证明的神奇之处，就在于一个刚接触数字世界的小学生，还没有来得及学会规避那些栅栏，还没有来得及学会尊重那些数学的禁忌。一个五年级小学生，拥有的只是毫无禁忌的好奇心。这正是Peter一眼看见事情本质的原因。 有趣的是，在很多证悟者的道歌中，都提到过：宇宙人生的奥秘，即心的本来面目，是如此令人惊异地简单和显而易见。我们却从无始以来一直被蒙蔽。也许，走进心性本面的那一天，我们的心态也会单纯简单得就像一个一无所知的小学生。 7在以上关于无理数不存在的论证中，我们同样可以推演出Peter第一证明的那个结论：Δx = 0并且Δx≠ 0。 推演的办法是这样的：（1）由无理数无限不循环的概念得出，在无理数的小数点后不断无限延伸的末梢，永远可以长出新的“小尾巴”。所以，这个末梢的“小尾巴”其实可以视作一个类似微分的增量。在有限的条件下，它可能比微分Δx稍微大一点点。但是考虑到无理数定义的无限性，它其实就是微分Δx。 （2）又因为，在上述Peter对于“根号2”或π的分析中，它们都可以改写为末尾带有无限个0的情况。所以，它的末尾截取下来，值为0。 （3）既然上面两种情况都有成立的理由，所以，Δx=0。（4）与此同时，作为增量的定义，Δx≠0。（5）于是，我们得到了Δx = 0并且Δx≠0。 这就是完整的Peter第二证明。它有两个部分：首先证明无理数并不真正存在；其次，由传统数学自己的认识，通过打破限制，加上一些极限情况，我们推演出Peter定理（零非零二相性）：Δx = 0并且 Δx≠0。 通过截取无理数的末梢，我们甚至可以再一次得到那个衍生公式：0=1。此处不再详述。 这些推演步骤，看似极其幼稚和牵强，简直就不值得一驳。但其实，如果你能够敞开心胸，不对任何极限条件设立障碍的话，并且仔细推敲这些推演步骤中隐含的道理的话，你一定会越来越惊讶于它们的意味深长。不信，你试试看？ ok，一个看似循环定义而且牵强，但其实意味深长的Peter第二证明收官！ 在前两个Peter证明中，我们都涉及到无穷小是否真实精确存在的课题。人们会说，无穷小（极限）是一个变量，不是一个不变量。你怎么能够如此生搬硬套呢？我们可以“授记”，这就是将来的所有质疑者和批驳者最有力的武器。 对此，我们如何回复呢？其奥妙之处在于： 如果极限（无穷小）根本无法精确定位，这就意味着找不到一个真正的极限（无穷小）。它只能存身于我们的思维游戏中，是一个单纯的概念。而这其实正是我们所持的立场：世界如梦如幻。 但是，对于那些贪著“一合相”，努力寻找世界的基质的质疑者和批驳者而言，一定需要存在一个真实的“无穷小”的量。否则，物质世界就成了虚无缥缈的海市蜃楼了。 这些人，一方面不肯面对世界的虚幻性，认为肯定存在着一个实实在在的最小基质；一方面又假道伐虢，打着“无穷量无法精确定位”的旗帜，其实是盗用了我们的立场“物质世界的基质找不到”，来对我们的立论提出驳斥。这难道不是很可笑吗？ 8在那段日子里，Peter的兴奋让我有点担心，怕这么小的孩子“走火入魔”，但他的兴奋得到了最丰硕的回报。他在琢磨圆周率π的时候，发现了圆的一个被人忽视几千年的最重要特性！历史上，还从来没有人提及过这一点。 这一次，他的无知大胆、毫无禁忌，再次起到了关键作用。我把这一发现的过程，称为Peter的第三证明。也是Peter证明中最绚丽和灿烂的一次灵感。 它更像一次对数学最源头的重新审视和重新定义，而不是一次有针对性的数学证明。但是，为了和前面呼应，我们依然称之为“Peter的第三证明”。 在Peter的第三证明开始前，首先，我们需要非常清晰地强调一下一个事实：圆周率π的定义。对，π=圆周/直径！没有任何附加条件。 下面是Peter的第三证明。Peter发现：当一个圆无限放大时，即演化出无数更大的同心圆的时候，圆周和直径始终保持一个常数关系，即圆周率π。反之，当一个圆无限收缩，即收缩为无数更小的同心圆的时候，圆周和直径依然始终保持一个常数关系，即圆周率π。 但是，在极限情况下，这情况发生了奇妙的转变。当圆无限缩小，到达一个极限，即到达圆心的时候，同心圆坍缩为一个点。这时候，圆周等于直径，但是不为0，π值瞬间衰变为1。 事情还没有结束，最伟大的发现隐藏在跳跃性的最后一步。Peter毕竟只是一个小学生，他虽然已经想到了圆心既可以等于1，也可以取0的值。但是，没有任何佛法知识的他，自己也觉得过于荒谬，便忽略了这最有价值、最为辉煌的最后一跃。所以，这一思想的最后冲刺，由我接棒完成： 当同心圆收缩成的这个点足够小，小到没有任何体积的时候，π值体现出它的双重性格：π=0或者1。（圆周/直径，圆周等于直径的原因，圆周率=1；而分子为0的原因，圆周率=0。） 我们再次得到了那个看似“荒谬”的结果，即Peter定理的衍生公式: 0=1。奇妙的事情还在后面。在上述圆心的最极限情况下： 圆周/直径=0/0。0/0=？ 为了highlight一下，凸显此处的重要性，让读者不要轻易滑过，我在此借用一句香港人的“潮”语：“零除以零，点解？”它有三个解：0或者1或者“无穷大”。 事实上，它不止是三个解。它有无穷多个解。而Peter定理（零非零二相性）也自然而然隐含在其中：Δx = 0并且Δx≠0。通过同心圆的圆心，Peter定理和它的衍生公式0=1之间的天然血缘关系，便昭然若揭，不言自明。 事实上，它（指圆周/直径=0/0）蕴含着从0到1到无穷的无限可能性。我们不由想起弦理论中的一个有趣现象：在多维世界里，一道简单的数学题，可以有数十亿个解。 从同心圆，到值为1的圆心点，我们收获了近乎无穷的可能性，因为所有圆周上的所有点，都可以在一个点中找到对应关系。同心圆就像展开的二维世界，而圆心点就像把这个二维世界蜷缩在了一个一维的点里。 从值为1的圆心点，进而跃入虚空般的0圆心，我们忽然拥抱了整个无边无垠的浩淼无尽的所有面向，所有可能性，所有维度和苍穹。这正是法王如意宝的上师托嘎如意宝在梦境中赐予法王如意宝的那句关于空性的教言：“一切皆不成立之中，一切皆有可能。” 在这项工作中，Peter最大的贡献，是把圆的定义的所有限制都取消，将圆点作为一个圆的极限情况考虑了进来。 而我所做的，就是把人们对于0不能作为分母的限制取消。为了得到宇宙的奥秘，我们必须敞开心胸，取消所有人为的假设，以接纳所有的极限条件。 这个看似“荒谬”的结果，其实并不荒谬。在上面提到的《刨根问底2：一切皆归于心》等文章中，您可以看到，大自然是如此神奇美妙：零就是一，一就是零；多就是一，一就是多；多就是零，零就是多。它真正的涵义就是：梦幻世界！ 在藏地著名的《密勒日巴尊者歌集》中有一个故事，讲的是密勒日巴如何调伏他的弟子惹琼巴的傲慢心的。其中有一个有趣的情节：密勒日巴带着惹琼巴在草原上旅行，天上下起了大雨，惹琼巴被淋得全身湿透，却发现尊者不见了。他四处寻找，最后在地上找到一个牛角。他向牛角中张望，发现密勒日巴尊者就在牛角里躲雨。 故事写到此处，说：惹琼巴发现，牛角并没有变大，而密勒日巴尊者也并没有变小，但是密勒日巴尊者确实就藏在了牛角里，而且还相当宽敞。 这种奇妙的超越我们二元思维的境界，在一些著名的禅诗中也会如闪电般灵光一现，只有真正的证悟者才能真正了达它的意境。如一句非常著名的禅诗所说：“空手把锄头，步行骑水牛，人在桥上走，桥流水不流。”它的真实意趣，就是超越了一切相对、一切观待、一切二元思维的不可思议的证悟者境界。 在《华严经》中，亦有那句几乎家喻户晓的著名偈颂，讲述了诸佛菩萨的现观庄严境界：“一尘中有尘数刹，一一刹有难思佛。” 9通过以上“非常严格”的数学演算，我们得到了无穷小等于0的结果。 对“非常严格”加双引号，是因为我的数学知识几乎等于空白。为了探讨此次的话题，我才临时到网上搜索了一点资料。我的数学知识，除了最原始的直觉和经验，只有这么多。 对“非常严格”加双引号的另一个目的，是为了安抚一下太多“专业人士”有可能的躁动，让他们能稍微心平气和地采取一种有建设性的心态，对其中隐含的深意进行思考。 我们这里的证明，其形式也许是很幼稚的，但是其启发意义一定是极为深刻的。而且，虽然看似幼稚，却无法推翻，值得细细咀嚼喔。 在以上多角度充分证明了Δx=0的同时，如果你对Δx≠0还存有疑惑，觉得这是一个错误假设的双重循环，那就让我们用一个非常简洁而且严格的数学常识来做一个了断。 ∵ 常识中，1≠0，1=无穷小/无穷小。∴ 无穷小≠0。用Δx表示无穷小，即：∵ 1≠0，1=Δx/Δx。∴ Δx≠0。 现在，通过严格的数学方式，我们得到了微积分隐含的那个假设：Δx = 0并且 Δx≠0。 在牛顿和莱布尼茨手上，它是一个“不招人待见的私生子”，一个具有矛盾的假设，是为了应用的方便而无奈引入的。虽然在应用中取得了巨大的成功，但是，就像一个没有出生证的“黑户”，它的身份始终受到人们的质疑。 现在，它已经被证实不是私生子，更不是假冒的骗子，它是有着最纯正血统的数学王国的嫡系传承子弟。而且，是整个王国的希望所在。 接下来的事，是如何揭示它内在的合理性和深刻涵义。 五、月亮公式：佳句本天成，信心偶得之 1无限小，又等于零；又不等于零。这个声音怎么这么熟悉？是的，无限小的零或非零问题，在物理学领域的投影，就是“光的波粒战争”。而最后的大结局，是一样的：零非零二相性；或者波粒二象性。 在量子力学中，波粒二象性的哥本哈根解释中，“波”是虚空中的一个概率分布和宏观发展趋势；“粒”是观测者心识前已经显现的现象世界的基础。 在数学领域，无限小的“=0”意味着万法的本质，是“无”，但是“无”不是虚无，“无”中蕴含着无限的可能性，活泼灵动。而为了能够符合我们观测到的“1”和所有建立在“1”上的整个宏观现象世界，无限小又必须表示为“≠0”。 这个关于无限的古老永恒的数学命题（零非零二相性），它和物理学领域的“波粒二象性”的对应关系，以及二者背后的中观“离一多因”，都是同一个奥秘投在人间的身影。这让人想起中国古代两句富有哲理的诗句：第一句：“寒塘渡鹤影”。第二句：“千江有水千江月”。 2无限小的“零非零二相性”发现后，为了揭示它的深刻涵义，我深深体会到，需要创立一个新的方法进行标注。 在2011年的春夏之交，这件事一直盘旋在我的脑海中。 有些真话，如果说出口，很可能会招致许多人的反感。而我自己多年来也一直深信，对一个希望得到一点佛法学修真实利益的人来说，没有比虚妄的名声更大的障碍和虚耗了。但是，出于一种综合的考虑，也是出于一种责任感，我虽然可以想象到这样做会招致的许多麻烦并对此心怀忐忑，但我最终还是觉得，有必要稍微提一下发生在那一年的事情，以饮水思源，表达我对三宝的无限谦卑与崇敬。这样做，也是为了给这一了不起的灵感正本溯源。 那一年对我来说真的很特别。那一年，索师和慈师的莲足，相继踏上我们家乡的泥土。慧莲师让我为索师的大学演讲写一篇小小的报道，由此引发了一连串奇妙的因缘。我当时产生了一个心愿：愿意做上师的一支笔。此后，各种奇妙的文思便似乎源源不断。 没有任何高等数学和物理学知识，仅仅依靠《中观庄严论》的理证工具，我在短短两周的时间里，就理清了量子力学的脉络。同时对数学史上三次危机有了一个大致的了解。现在回想起来，我自己都觉得有些神奇。在此之前，我对量子力学和数学危机的了解为零。从那以后，我的数学知识和物理学知识，似乎也没有再长进过，依然保持一个“文科男”的弱智水平。 在索师和慈师二位尊者先后光临的间隙里，我完成了对科学与佛法的初步思考。这些思考汇集在三篇取名为“刨根问底”的系列文章里。而更多的思考，还在脑海中，没有形诸于笔。于此同时，还完成了一部四十万字的爱情小说。这部小说，从构思到结局，历时三个月，承载着传承上师们的一个特殊心愿。 那一年的五月份，我先是瞻礼了佛顶骨舍利。之后，“悟”到了“零非零二相性”（即Peter定理）。为了找到一个更合适的表达方式，也为了让彻夜不停的疯狂节奏稍微呼吸一下新鲜空气，我来到郊外的灵谷寺，朝拜玄奘大师的顶骨舍利。 在朝拜这位举世闻名的翻译大师的第二天，月亮公式（又名“法尔公式”）诞生。我把它视为玄奘大师送给1000多年之后的二十一世纪科技世界的一个礼物。 3∞=（⊙0，≠0）这就是我给Peter定理找到的新的数学表达式。 其中，最关键的，是那个我自己创造的新的数学符号：⊙0。我把这个⊙0，称为“月亮符号”。 当时，就是一种直觉，并没有想关于圆心的问题。这个直觉背后，是佛法的圆融和东方传统文化天圆地方的理念。 苦于对初三以上的数学知识一无所知，我始终不了解康托尔集合是如何解决微积分的数学矛盾的。我曾经抽出有限的时间精力，在网上查阅过一些有关康托尔集合的词条。显然，它们对我来说太高深，而且也没有击中要害：它到底是如何解决微积分的数学矛盾的？ 有趣的是，我曾经问过几个数学专业的学生。他们好像也不甚了了，含含糊糊说不清楚。这让我猜测，康托尔集合也许就是一个障眼法般的“花招”。后来，是Peter的一个家教老师，南师大的一个数学系研究生，告诉我说：“好像是从实数和一条直线上的点一一对应，来解答这个问题。”这句话，为前两天打开“康托尔集合”这道最后的闸门，埋下了伏笔。 我承认，这句话当时对我来说，就是一句“天书”。我曾经想买本关于集合的数学书，但忙碌的生活节奏，显然容不下这样的闲情逸致。康托尔集合，成了我仰望的一个禁区。 前几天，为了构思“弦理论和金刚经”，我再次到网上翻阅。我读到一篇短文，第一次意识到，康托尔集合的思想源自同心圆的灵感。此时，我刚刚完成了《弦理论和金刚经》一文。对于弦理论涉及的多维世界的思考，帮助我立刻抓住了问题的实质。我想，我能够理解康托尔集合的核心涵义了。 虽然我没有时间精力对康托尔集合做哪怕最基本的一些必要了解，但世界上的道理都是相通的，我所需要做的，只是找到佛法理证在自然科学中的对应位置。换句话说，这只是一件翻译工作，不需要任何创新。 当时，我心头一亮。我想，我知道康托尔集合解答微积分数学矛盾的思路了。所谓的实数集（无穷集），其实就是离一多因对微尘分析的第三种情况的一个变形：在两个相邻的微尘之间，可以放入无限多的微尘数。 于是，在天降月的初十日，法王如意宝十周年涅槃纪念法会的那一天，我感到曙光出现了。几年来一直存放在那里的最后一个心结，康托尔集合的奥秘，甚至理发师悖论的真正答案，都开始清晰地浮出水面。科学通向佛法的最后一道门，悄悄开启。 ∞=（⊙0，≠0）即“Peter定理”的数学表达式，简称“月亮公式”。因为它将于明天，即天降月的月圆之夜，完成它的“出征檄文”；并公布在北美慧灯禅修班的交流平台上。 一个月前，在北美各地的中秋夜，天空中升起一轮轮红色的超级大月亮，仿佛昭示着莲师法脉（宁玛巴）的红色大月轮，将照亮北美大地。莲师曾经授记，在五浊黑暗日益加剧的时候，大圆满的清凉月辉将洒遍全球。 4在月亮公式∞=（⊙0，≠0）中：其中，∞即“无穷小”，或“极限”，或“微分”。 我知道，这和我们习惯的用法有点出入。在习惯用法中，∞表示无穷大，而不是恰恰相反。但是，我不喜欢人们习惯中的无穷小符号，那个“一个箭头逼近于零”的符号，这个无穷小的旧符号承载着人们历史上的很多偏见。所以，我最后选定∞作为新的无穷小符号。一方面，它的圆融的形态，符合无穷小蕴含的奥秘；另一方面，越是趋于无穷小，你也就越是接近无穷大。在世界无限延展的两个尽头，无穷小和无穷大，它们终究会汇合，闭合成一轮圆月。 下面，继续探讨月亮公式的涵义。 在侧重宏观现象和数据的时候，∞可以取非零值；在侧重微观真实和无限小的分析时，∞可以取零值。这正是微积分真正的数学理论基础。数学的严格性，可以由此建立。 月亮公式透露给世界的一个重要的秘密是：即使在无数∞组成一个个宏观世界的大数的时候，根据需要和实际的情形，它随时有可能瞬间“坍缩”或者切换为0，崭露出它一直隐含的另一个重要特性。 因为，按照“零非零二相性”，所有的大数，当下都是∞的累积，而∞在展现其“非零”特性的一面时，从来也没有离开过“零”的特性。这就像一枚硬币的两个面向。 这个新的数学公式“月亮公式”，会为许多涉及到极限情况的数学理论和演算，带来让人惊叹的新思路。 5那么，月亮公式背后的Peter定理，即“零非零二相性”，它的涵义是什么呢？ 事实已经非常清晰了，清晰地不容置疑： 世界万法的本质，就是“无”。用佛法的语言说，就是“空性”。在这个意义上，客观世界确实是虚幻的，没有一丝一毫的实质可得。 与此同时，在现象世界，一切都可以按照因果律完美地展开。但是，有一个原则：你不能查看它的核心——无限小或者极微的微尘。现象世界就像一颗芭蕉树或者空心菜，当你执意要去寻找它的内心的时候，你会失望地发现，最后的最后，什么也没有。 现象世界就像一个幻术。这个幻觉的源头，是观测者的心识。不是观测者的心识创造了心外的一个独立的世界，而是世界当下就是观测者的心识（真相唯识）；或者说，心识的幻觉（假相唯识）。 理解这一点最好的比喻，是梦。梦中的一切看似真实，其实都是梦心中的现象而已。所以，一切皆归于心。 但是一切皆归于心，不等于“随心所欲”。就如，梦中的一切不会随心所欲一样。它有自己的生起和演绎的规律，这就是“缘起”的规律。在自然科学里，它被称为“因果律”。 6再回到月亮公式的那个月亮符号：（⊙0，≠0）。它完全发源于佛法。 佛法中把现象世界称为“世俗谛”，把世界的真相称为“胜义谛”。真正的胜义谛，即世界的最终真相，只有一个；而世俗谛则由浅到深有很多层次。 通过月亮公式，我们已经接触到了世俗谛比较深的一个层次，即“如梦如幻”。至于真正的胜义谛，那个最终的真相，唯有依靠佛法独特的方式才能趋入。任何自然科学的工具，任何数学符号，乃至逻辑思维，都到此止步。 自从波粒二象性的哥本哈根解释问世以来，很多宗教和新思潮都在对科学和形形色色的宗教信仰进行比附和阐释。而世界源于意识，也逐渐得到了越来越多的回应，成为一种渐渐崛起的共识。 在数学领域，也许有数学家曾经思考过“零非零二相性”的问题，但这样的疑惑转瞬即逝。1不等于0，这是人们最最原始的直觉和经验，也是自然科学界最大最固执的成见。因此，对于没有接触过佛法的数学家和自然科学家们，月亮公式无疑是革命性的，开拓性的，划时代的。 月亮符号（⊙0，≠0）的特殊涵义在于，它意味着，宏观“客观现象世界”不仅是发源自心识，而且始终没有离开过心识，当下即是心识前的现象。 此外，宏观现象，不仅源自于“无”，而且在看似“有”的当下，也没有离开过“无”。从这一点上来说，我们身处的世界，确实是如梦如幻的。无论在宏观层面还是微观层面，它都具有双重性格。它的双重性格，英文可以取名为：“NON and Exist double personality”。用佛法的语言说，叫做“空性即是显现，显现即是空性”。 这也就是心经中最著名的那句经文，“色即是空，空即是色”。 当然，心经中还有一句，“受想行识，亦复如是”。它讲述的是心灵世界的课题，已经超越了自然科学目前的范畴。 很可能，随着月亮公式的公布于世，自然科学将迈进新的领域：心灵世界。科学家们将发现月亮公式的更深一层的内涵：心识本身也是现象的一部分，所以，心识本身也是（⊙0，≠0），或者“NON and Exist double personality”（有无二相性）。 它的佛学意义是：空性的当下，不离开显现；显现的当下，不离开空性；空性即是显现；显现即是空性。“色不异空，空不异色，色即是空，空即是色；受想行识，亦复如是。”用更加浓缩的话说，即“缘起性空”。 在那个美丽的故事中，舍利弗尊者和目犍连尊者遇到佛陀之前，他们的智慧超过了印度所有的学者，于是他们不再寻找新的知识，而是致力于教授门徒。但是他们内心知道，真理的曙光还没有出现。 后来舍利弗在城市里见到威仪第一的马胜尊者，为他的德相倾倒。他请问马胜尊者，他的德相源自何种修行？让舍利弗惊讶的是，马胜尊者居然说，他跟随老师释迦牟尼修行，和他的老师相比，他的智慧德行就如萤火虫之于太阳。 舍利弗问马胜尊者，他的老师赐给他怎样的教授。马胜尊者的回答，再一次让舍利弗感到震撼。这就是他和目犍连冥思苦想，梦寐以求的智慧，那句涵括了佛法所有智慧的话：“诸法从缘起，诸法从缘灭。”这句话，就是我们非常熟悉的“缘起性空”思想。 故事的结尾，舍利弗对佛陀生起了无比的信心，他和目犍连带着所有门徒皈依佛陀，在佛陀的弟子中被尊为智慧第一。 月亮公式，是传承上师们和玄奘大师送给今天高科技时代的一个奇妙的礼物。我所做的，仅仅是一点微不足道的虔诚信心。 这让我想起一句话：佳句本天成，信心偶得之。 六、缘起性空，法尔如此：宇宙的梦幻圆舞曲 1月亮公式∞=（⊙0，≠0）和缘起性空的故事，把我们带进了一个新的领域：大自然的法尔。（即大自然本来如此的真实本性） 在思考这个梦幻世界的缘起性，并思考如何在月亮公式中体现的时候，我发现，月亮公式∞=（⊙0，≠0）只是宇宙公式的一个横截面。真正的宇宙公式应该写作：∞＝（⊙0，0∈） 我们不妨称它为法尔公式。其实，月亮公式就是法尔公式。但是新的法尔公式中，借助一个新符号0∈，优雅地纳入了“缘起”的思想。 2让我们考察一下这个升级版的月亮公式，即“法尔公式”∞＝（⊙0，0∈） 在这个新的法尔公式中：（）是一个开区间。意味着“涵括苍穹，无有边际”。0意味着“如虚空一般”。 ⊙意味着“虚空中蕴含无限，一切本来圆满具足”，而点和圆的美妙结合，恰恰暗示着∏值所揭示的许许多多奥妙无穷之义。 ⊙0，意味着“万法的本质，宇宙人生的真相，本来圆满，法尔如此”。 ∈，是一个象征拓展的符号。它意味着“从虚空中诞生‘有’，并且不断延伸拓展”。在佛法中，它的名称是“生起”。即“缘起”一词和“生起次第”一词中的那个“起”字。它还隐含着“业力增上广大”的意思。 0∈，意味着“万法以种子的方式埋藏，机缘成熟时，将从虚空般的阿赖耶中显现”。在佛法中，它被称为“阿赖耶上的业力种子”，或者叫“因位识”。 （⊙0，0∈），则意味着“万法的空性与缘起显现双运，如火与火的热性”。 ∞＝（⊙0，0∈），可能就是佛法中常常提及的“阿赖耶”。在自然科学的语言中，它有点类似于最极微观的世界，但是比自然科学的最微观世界更加深远。此外，它也可以被视为世间禅定的境界。 3在朝拜玄奘大师顶骨舍利的第二天，我开始构思“零非零二相性”的数学表达式。在构思过程中，佛法宽容圆融的禀赋，以及中国传统文化“天圆地方”的理念始终引导着我，于是一切自然而然就完成了。这就是月亮公式。 第三天，在我灵机一动，开始构想如何利用这个符号，重新建立四则运算法则的时候，我越来越体会到这个符号内在的优雅和圆融。 我深信，所有的灵感，都来自我修习的传承，来自我的根本上师，这个时代最伟大的精神导师：晋美彭措法王如意宝；慈诚罗珠堪布仁波切；索达吉堪布仁波切。 他们代表了三世诸佛所有的智慧，慈悲和事业。他们的悲心无有边际，关爱着烦恼痛苦中漂泊的每一个心灵；他们的智慧则如明灯，照亮了这个时代的前途。 我所要做的一切，只是虔诚地呼唤，让谦卑和信心代替傲慢和疑惑，让自己的心足够开放，如同水滴拥抱大海。 我想起前文中提到的那句著名的诗句：“佳句本天成，信心偶得之。” 4这个符号和公式的意义，是简洁而深刻的。一切万法的显现，都可以用数的结构表示，因为数是逻辑理性即因果律的一种表达符号。逻辑理性是心识的运作规律，即因果律，它的精确说法是“缘起”。 所以，一切万法，都是心识的幻化。幻化意味着双重个性：虚幻的同时，有无限的拓展。 我们可以在这个基础上，建立四则运算。和传统四则运算不同的是，法尔公式更具普适性的四则运算意味着：无论“拓展”的一面如何累计乃至无穷大，其“虚幻”的一面始终不离不弃。 对此，我们可以用“远在天边，近在眼前”来描述： “远在天边”：在一些特殊的场合，比如某个极点，某种心灵特殊的体验，某个修行证悟的瞬间，某个禅定的境界，某种源自“过去”的特殊因缘，或者某个特殊因缘的强力加持等等，它将随时准备展现它的另外一面特性。这时候，一切大小、高低、美丑等等差别全部“坍缩”，一切繁复的多样性都会归于沉寂而“平等清净”。此处，平等的意思是“远离任何差别”，清净的意思是“如虚空一般，远离垢染”。 临终死亡，进入深度睡眠，还有梦中醒来的瞬间，宇宙大爆炸乃至黑洞现象等，都可能是那个突然“切换个性”的临界点。 更神奇美妙的是，它又“近在眼前”：在每一个刹那的当下，它都在同时展现自己的双重个性：前者的展现，即是万法的刹那生灭；后者的展现，则是如聚沫一般的缘起累积。 在每两个刹那的两组因缘的接力之间，有一个空当，0∈暂时瓦解，⊙0有机会完全展现。如果你能够安住在这个空当，那就是空性的境界。但是它瞬间即逝，难以捕捉，只有依靠艰苦卓绝的修行，才能证悟。这方面，任何世间的学问和语言，都没有任何价值，你最好遵照佛陀最纯正的教言，依止善知识，闻思修行。 5依据法尔公式，数学运算中，更具普适性的四则运算可以建立了。 比如1+1=2，如今，我们只要改写成：（⊙0，0∈1）+（⊙0，0∈1）=（⊙0，0∈2） 2－1=1，则改写为：（⊙0，0∈2）－（⊙0，0∈1）=（⊙0，0∈1） 1×2=2，则改写为：（⊙0，0∈1）×（⊙0，0∈2）=（⊙0，0∈2） 2÷1=2，则改写为：（⊙0，0∈2）÷（⊙0，0∈1）=（⊙0，0∈2） 在以上的四则运算中，0∈1的意思是“从0出发，拓展为现象1”；（⊙0，0∈1）+（⊙0，0∈1）=（⊙0，0∈2）的加法算式，则解读为：恒时不离开相似胜义“⊙0”的同时，由因缘“0∈1”和因缘“0∈1”积聚成现象“0∈2”。其他以此类推。 在四则运算的基础上，所有复杂的运算都可以建立。 微积分，是把两头都趋向极限临界点的特殊情况，重复计算在内。贝克莱所谓“双重错误得出的正确结果”，其实非常合理。 “加减乘除四则运算”的涵义，其实就是缘聚缘散的逻辑表达。 由于恒时不离⊙0，所以，“实有的因产生实有的果”，恒时也不会存在。而0∈1的加减乘除规律，则意味着“缘起不灭，无欺显现，丝毫不爽”。 万法都是因缘和合而显现。因为每一个因缘本身，都没有离开过⊙0；所以宏观上，薛定谔的波函数，随着0∈1不断加减乘除而不断拓展延伸，但是从来没有离开过⊙0。薛定谔的波函数的虚幻性正来源于此。而∈的符号，则具有“波”的特性，在弦理论中，它象征着那根宇宙弦的振动，或振动的宇宙弦，而∈后面跟着的1就是由弦的振动幻化出来的泡泡“微粒子”。 法尔公式四则运算背后隐含的道理，就是中观的理证之王“大缘起因”：缘起就是性空，性空就是缘起。 传统四则运算是法尔公式四则运算的一个缩写，也可以视为一个特例，即：“幻觉比较稳定，法尔的虚幻性不为人察觉”的情况；我们的生活，大抵如此。 新的更具普适性的四则运算，将容纳更多极限条件下的演绎。这一点，正如经典力学是相对论的一个特例，而相对论含摄了更多极限条件下的可能性。 6法尔公式的名称，如此优雅，来自古老的佛经。它已经等候了我们2600多年。 “法尔”的意思是：大自然本来如此（万法本来如此）。 ⊙0，读作“相似胜义法尔”，有时候也会简称为“胜义法尔”，另一个名字是“单空”。0∈，读作“世俗法尔”；0∈1，读作“世俗法尔显现1”。 而加法算式：（⊙0，0∈1）+（⊙0，0∈1）=（⊙0，0∈2）；读作：“胜义法尔不增不减。与此同时，‘世俗法尔显现1’加上‘世俗法尔显现1’，等于‘世俗法尔显现2’”。简化以后的读法是：法尔1加1，显现2；胜义远离生灭。 这一切，太优雅太完美了。佛法理性如此圆融，让人惊叹；而大自然本来圆满的迷人风采，则叫人心许。 7现在，让我们将法尔公式搬到理论物理学中，看看它有哪些启迪意义。 量子力学中，薛定谔波函数的奥秘，似乎可以揭晓了：体现⊙0本性的同时，沿着0∈的看不见的轨迹，悄悄拓展，并暗自遵循着四则运算的缘起规律。 海森堡的“观测使得波函数坍缩”，也似乎看到了揭晓的曙光：由于新因缘“心识”的加入，波函数坍缩，定格为0∈1。或者定格为0∈h(普朗克常数)。而∈怎么看，都像是弦理论中那根宇宙弦的振动。 相对论和弦理论还有许多奥秘，都隐含在那个⊙中。从圆点开始的所有同心圆，都是一个相互可以容纳的无穷集，彼此间有着一一对应的关系。 圆可以视为我们生活的四维时空宇宙。圆心的那个点，很可能就是相对论中的宇宙大爆炸前的起点，也就是弦理论中提到的那个“蜷缩的其他维度”。直径和圆的关系，其实正是低维度和高维度的关系：低维度的世界，可以视作高维度世界的一个横截面。 这个蕴含无限的圆点，还有一个非常特殊的身份：在华严经中，它有一个响当当的名字，叫“一尘”。对，就是那个“一尘中有尘数刹，一一刹有难思佛”的恒河沙中一粒尘！ 在佛法里，这绝不是一次偶尔的灵感或文学性描述。它所描述的，是证悟者的慧眼前现量见到的现观庄严的境界。在佛法的经纶中，有许许多多诸如此类的描述。我们在下面稍稍摘抄几句，以飨有缘： 《华严经》：“佛土生五色茎，一花一世界，一叶一如来。” 《华严经》：“佛曰：一花一世界，一木一浮生，一草一天堂，一叶一如来，一砂一极乐，一方一净土，一笑一尘缘，一念一清静。” 《梵网经》卷上谓：“卢舍那佛坐千叶大莲花中，化出千尊释迦佛，各居千叶世界中，其中每一叶世界的释迦佛，又化出百亿释迦佛，坐菩提树。” 《地藏菩萨本愿经》：“佛告文殊师利，譬如三千大千世界，所有草木丛林、稻麻竹苇、山石微尘。一物一数，作一恒河。一恒河沙，一沙一界。一界之内，一尘一劫。一劫之内，所积尘数，尽充为劫。” 唐蜗寄题庐山东林寺三笑庭联：“桥跨虎溪，三教三源流，三人三笑语；莲开僧舍，一花一世界，一叶一如来。” 《金刚经正解卷下》：“恒河沙等之恒河沙。一沙一世界国土中，所有众生，各具一心，则其心有若干种。如来以清净五眼，皆尽见而知之。” 《大方广圆觉修多罗了义经要解上》：“诸佛世界者，百千万亿僧只等数之河。一一河中，一沙一世界者，显世界之多矣。” 《黄龙死心新禅师语录》之“送禅人持钵”诗一首：“融融春景绝纤埃，五叶腾芳七叶开。子内子生枝上菓，一花一叶一如来。” 《佛海瞎堂禅师广录》：“一花一叶一如来。一佛一刹一报土。” 《憨山老人梦游集卷第三十七》之“怀大都千佛寺”诗一首：“忆昔千花七宝台，一花一叶一如来。不知近日花闲佛，可似当年震法雷。” 以上所列，或为佛言，或为祖师大德的道歌，都是证悟者眼前的真实所见。 把稍稍岔开的话题，拉回到对法尔公式涵义的探寻中。我猜想，从这个公式出发，也许能够得到弦理论正在寻找的顶层理论架构设计，而量子力学和相对论的统一值得期待。 由此，我越来越憧憬，这个新符号，和新的四则运算法则，也许会给数学领域和物理学领域，带来崭新的思路；在解决历史难题的同时，也许会被此起彼伏的新实验和新发现不断确证其内在的合理性。 相关的整个运算体系，可以在此基础上建立补充和完善。我在仓促的交稿之后，很可能会不断有新的发现和修正。将来的有缘者，也会不断挖掘和探寻它的真谛，并做一些适度的更正。但是，总体应该不会超出这个框架，因为它来自静命堪布的智慧：瑜伽中观。 自然科学界的“万有理论”似乎看到了曙光，数学大厦的严格性，也许可以真正达到。这些工作，都有待更多的科学工作者去完成。 8但是，请不要过于兴奋，以为依靠一个公式，我们的逻辑理性就可以充当“上帝”。永远要记得，逻辑理性是建立在二元思维的基础上。它永远有局限性，它只适用于具有分别的现象世界，即凡夫世间，连瑜伽士前的生起次第境界，也远远没有涉及；而真正的奥秘，远离能所，就像自己无法提着自己的头发把自己拎到空中一样，对于实相的“证悟”只有依靠善知识和信心。如果狂妄到以为依靠逻辑理性，就可以穷尽苍穹，那实在是和本文的宗旨大相径庭了。——本文旨在破除傲慢与偏见，引导人们向正确的方向探索。 在法尔公式中，⊙0读作“相似胜义法尔”或“单空”，它的意思是，这只是通向空性或胜义谛的台阶，并不是真正的空性或胜义谛。真正的空性或胜义谛，已经超越二谛，超越语言和思维的境界，远离一切戏论。这正是“理发师悖论”和哥德尔不完备定理所透露的信息。 罗素的“理发师悖论”和哥德尔不完备定理，代表着世俗谛中理性的最顶峰。它们无法把我们带到真实的胜义谛，但是它们却是指向真正胜义谛的月亮的一根手指。（当然，这样甚深的意义，罗素也罢，哥德尔也罢，连做梦也未曾想象到。） 罗素悖论和哥德尔不完备定理，还如空谷回音般，回应了一千多年前龙树菩萨和月称菩萨的狮子吼。它们所蕴含的深刻道理，其实正是龙树菩萨和月称菩萨的理证工具：中观应成因。你可以把它们看作是“中观应成因”投在自然科学界和哲学界的一个“寒潭鹤影”。 总之，理性它可以把我们带到非常接近真理的地方，却永远不可能到达永恒。真正的永恒，是没有“永恒”。没有“生”，又哪里有“无生”？这个奥秘，太深了，只有住在深山茅棚的大修行人才能体会。我们只是鹦鹉学舌而已。 索师曾经说过：“佛法可以圆满地解释科学，但是科学无法解释佛法，所以我当年写《佛教科学论》，并没有取名《科学佛教论》。” 我想起那个神秘的对数螺线。螺线向着“空性的中心”无限接近，却永远也无法到达中心；同时，由“空性的中心”忽然跃生的螺线，向着外面不断延伸，没有尽头。 我突然理解了对数螺线的某个含义，那不正是理性的化身么？理性向着实相不断接近，却永远无法到达；由实相忽然跃生的现象，沿着理性的轨迹不断演化乃至无穷无尽。 奇妙的是，对数螺线，正是一个右旋海螺的螺线；在佛法里，右旋海螺是佛教八吉祥之一，象征着“弘扬教法”。具有完美理性的“教法”又称文字般若，是真实般若的化身。 而向着空性的最后一跃，对真实般若的证悟，唯有依靠个人的如理修行。修行和证悟，称为“证法”。佛法是“教法”和“证法”的圆满结合。佛法的精髓是“闻思修行”，即：依靠闻思，通达教法；依靠修行和证悟，实践证法。 想当年，佛陀睹明星而悟道，叹道：“奇哉！一切众生皆具如来智慧德相，只因妄想执著，不能证得。”而后，又深感此理深奥难解，于是偈曰：“深寂离戏光明无为法，吾得犹如甘露之妙法，纵为谁说亦难以了知，故当无言安住于林间。” 于是，佛陀于七七四十九天中安住林间。有一说，如今释尊还在安住；又有一说，灵山法会迄今未散。 （全文终） 跋文一前段时间，慧灯禅修班的微信群里，道友们对量子力学和佛法作了热烈的探讨，波澜甚至荡漾到其他的朋友圈。那时候，我就有个心愿，有时间写一个佛法和科学的系列文章，也许对众生能有一点点微不足道的利益。第一篇文章从傍晚开始落笔，一气呵成，正值天降月的第一天，加拿大的金秋美景，惊喜地见到道友们发来的法王如意宝珍贵照片，手捧一尊文殊童子像，背景是莲花生大士。心中欢喜无限，以此文供养大恩上师三宝，供养本尊空行护法。祈愿莲师法脉广弘，教法证法兴盛，佛光普照众生，三界一切吉祥。喇嘛钦！ 跋文二随着“量子力学和心经”，“弦理论和金刚经”陆续完成初稿，我再次面对那个法尔公式。借助于弦理论的那篇文章，康德尔集合这块最后的路障也搬走了。不仅如此，许许多多的奥秘好像忽然呈现在面前。好像之前的所有一切，都是为了迎接这一天。 但是，在最后的冲刺之前，我却陷入了深深的犹豫。把佛法的甚深道理，用数学公式来表达，这是不是“走火入魔”了？整个过程中，上师三宝一路的呵护鼓励加持乃至敦促，似乎又那样清晰，不应该有误。 然而，把佛法翻译成数学公式，这中间需要跨越的鸿沟，实在让人胆战心惊。我再一次停下脚步，犹豫着。文笔也变得迟钝呆滞，磕磕绊绊。就在此时，微信上收到一个法王如意宝在全世界弘法的视频。 于是，昨天早上，我决意追寻心的召唤，祈祷上师三宝为我做一次抉择。期间，好似出现了许多吉祥圆满的巧合，我的心情也变得十分愉悦。在下午的听课之前，冥冥中，我预感着索师将会再一次为我指明方向。虽然当天的课程只是一个录像，但我对索师穿越时空无所不在的加持充满信心。 在这节课的结束之时，索师说：“今天巧得很，在我的桌子上放着两封信。一封对我的翻译，极其赞叹，说历史上从来没有像我这样把这么多藏传佛法的精华介绍到其他地区、其他国家的。他赞叹说我把这些藏传佛法的许许多多精华的教言，翻译成汉语，把佛法弘扬到了全世界，让许许多多众生都得到利益，说了许多赞叹的话。还有一封信，批评我说，我们藏地历史上也有过像囤弥桑布扎这样的许许多多大译师，但是他们都是到其他地方学习，把其他地方的精华的教言带回藏地，而你却把我们藏传佛法的这么多精华的教言，都翻译泄露到其他世界，让这么多人都知道了这些秘密，这样做有很大的过失，等等。” 索师说：“赞叹也罢，不赞叹也罢，我心里也是没有动摇过的，我觉得我的翻译对众生还是有利益的，我自己的一生奉献在这件事情上也是没有错的。我们还是要对所有人都有一颗慈悲的心，他们很多人也是好心。即使那些害你的人，也应该对他们存有最大的感恩之心。” 我的心豁然开朗，文思也再次源源不断。耳畔三次响起索师浑厚的声音，“一切圆满佛陀密，一切圆满佛陀密，一切圆满佛陀密。” 在此月圆之夜，一切吉祥圆满。在佛台的最顶层，献上象征虚空法界和四种事业，象征五方佛陀和坛城，象征佛陀圆满的五种智慧的五色吉祥哈达。 这样的口吻，本不应该出自一个连无常观也没有的凡夫之口，但是为了奇妙的因缘，为了护持一个殊胜的缘起，为了恭敬法故，我也以敬畏心、信心、恭敬心，学着圣者的口吻，说一声，“芒嘎朗。” 树立无畏前译教法幢，教法证法胜鼓传诸方。理智之道狮吼遍三界，无等吉祥光芒照十方
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